Двоичная система счисления: как устроена и зачем компьютеру

Двоичная система счисления — позиционная система с основанием 2: любое число в ней записывается двумя цифрами, 0 и 1. Статья для школьников и начинающих. Вы научитесь читать двоичную запись, записывать в ней число, складывать и умножать в столбик и понимать, зачем такая запись нужна компьютеру.

Все расчёты в тексте проверены запуском Python 3.13.12 в октябре 2026 года, вывод программы приведён ниже. Функции bin() и int() сверены с документацией Python, а ориентиры для школьных экзаменов — со страницами ФИПИ (ссылки в источниках). Если вам нужен именно перевод между системами с разными основаниями, начните со статьи Как переводить числа между системами счисления: здесь мы разбираем устройство самой двоичной системы.

Что такое двоичная система

В обычной, десятичной записи десять цифр: от 0 до 9. В двоичной их две. Когда цифры заканчиваются, число переходит в следующий разряд: после 1 идёт 10, после 11 идёт 100. Само «10» читается не как десять, а как «один-ноль»: это двойка.

Значение двоичного числа считают так же, как и десятичного, только вместо степеней десяти берут степени двойки. Позиции нумеруют справа налево, с нуля:

$A_2 = \sum a_i \cdot 2^i,$

где $a_i$ равно 0 или 1, а $i$ — номер разряда.

Как читать двоичное число

Запишите над цифрами веса разрядов и сложите те, под которыми стоит единица. Для восьмибитного числа веса такие:

Единицы стоят в разрядах 7, 6, 3 и 1, поэтому $11001010_2 = 128 + 64 + 8 + 2 = 202$. Проверка: bin(202) возвращает 0b11001010.

Ещё один пример поменьше: $1101_2 = 1\cdot 8 + 1\cdot 4 + 0\cdot 2 + 1 = 13$.

Как записать число в двоичной системе

Делите число на 2 и записывайте остатки, пока частное не станет нулём. Затем читайте остатки снизу вверх. Возьмём 37:

Остатки снизу вверх дают $37_{10} = 100101_2$. Подробные правила для других систем и ещё несколько примеров разобраны в статье про перевод между системами, а готовый результат для любого числа выдаёт инструмент «Перевод чисел».

Двоичная арифметика

Таблицы действий короткие, потому что цифр всего две.

Складывают в столбик, как в десятичной системе, перенося единицу в следующий разряд. Сложим $101101_2$ и $1011_2$, это 45 и 11:

  101101
+ 001011
--------
  111000

Получилось $111000_2$, то есть 56: $45 + 11 = 56$. Умножение сводится к сдвигам и сложению: $1101_2 \cdot 101_2$ равно $1101_2 \cdot 100_2 + 1101_2 = 110100_2 + 1101_2 = 1000001_2$. В десятичной записи это $13 \cdot 5 = 65$.

Зачем компьютеру двоичная система

По сведениям «Википедии», благодаря непосредственной реализации в цифровых электронных схемах на логических вентилях двоичная система используется практически во всех современных компьютерах и других вычислительных электронных устройствах. Проще говоря, схеме достаточно различать два состояния сигнала: например, «есть напряжение» и «нет напряжения». Эти состояния и обозначают цифрами 1 и 0.

К двоичным значениям привязана и логика. Если считать 1 истиной, а 0 ложью, то вентили выполняют операции «И», «ИЛИ», «НЕ». Как выглядит работа таких операций для любых значений, можно посмотреть в инструменте «Таблица истинности».

Разрядность и диапазон

В n битах помещается $2^n$ разных значений. Если числа неотрицательные, они идут от 0 до $2^n - 1$.

Типичная ошибка школьников — считать, что в восьми битах максимум 256. На самом деле значений 256, но они начинаются с нуля, поэтому наибольшее число $255 = 11111111_2$. О том, как биты складываются в байты и килобайты, рассказывает статья про единицы информации.

Проверка в Python

Каждый расчёт выше можно проверить программой:

print(bin(37))                 # 37 -> двоичная запись
print(int("101101", 2))        # двоичное -> десятичное
print(bin(0b101101 + 0b1011))  # сложение 45 + 11
print(bin(0b1101 * 0b101))     # умножение 13 * 5
print(format(5, "08b"))        # 5 в восьми разрядах
print(2**8, 2**8 - 1)          # значений в 8 битах и наибольшее число

Вывод программы:

0b100101
45
0b111000
0b1000001
00000101
256 255

По документации, int(строка, base) переводит строку в целое число, а допустимые основания — 0 и от 2 до 36. Для двоичных чисел основание равно 2.

Задачи с решением

Задача 1. Запишите 37 в двоичной системе. Решение: делим на 2 с остатками, читаем снизу вверх (таблица выше): $100101_2$. Проверка: bin(37) возвращает 0b100101.

Задача 2. Сложите $101101_2$ и $1011_2$. Решение: $45 + 11 = 56$, то есть $111000_2$. Проверка в Python подтверждает результат.

Задача 3. Сколько различных чисел можно записать восемью битами? Решение: $2^8 = 256$ значений, от 0 до 255.

Условия и ограничения

Основание

Только основание 2 — статья про двоичную систему. О восьмеричной и шестнадцатеричной системах рассказывает статья про перевод между системами счисления.

Знак

Без отрицательных чисел — способ записи числа со знаком здесь не рассматривается: это отдельная тема.

Разрядность

Диапазон зависит от числа бит — в n битах помещается $2^n$ значений; набор чисел меняется, если часть битов отдана под знак.

Версия

Python 3.13.12 — код проверен запуском в октябре 2026 года; результаты арифметики от версии не зависят.

Школа

Ориентир — ФИПИ — точный перечень экзаменационных тем смотрите в кодификаторах ФИПИ на официальных страницах из источников: формулировки мы не копируем.

Частые ошибки

• Читают остатки при делении сверху вниз, а не снизу вверх: из 37 получается 101001 вместо 100101.
• Нумеруют разряды слева и с единицы: разряды считают справа налево, с нуля.
• Путают $2^n$ и $2^n - 1$: в восьми битах 256 значений, но наибольшее число 255.
• Забывают перенос при сложении: $1 + 1$ в двоичной системе даёт 10, то есть ноль и единицу в следующий разряд.
• Читают «10» как десять. В двоичной записи это число два, и полезно проговаривать «один-ноль».

Короткий вывод

Двоичная система использует две цифры, а значение числа складывается из степеней двойки в разрядах, где стоит единица. Её удобно реализовать в электронных схемах, поэтому компьютеры работают с двоичной записью. Научитесь переводить числа и считать диапазон по числу бит, а любой ответ сверяйте функциями bin() и int() в Python.