Как переводить числа между системами счисления

Перевод числа из одной системы счисления в другую — это запись того же числа другим набором цифр. Из десятичной системы переводят делением на основание с остатками, в десятичную — суммой цифр, умноженных на степени основания. Инструкция для школьников и начинающих: вы научитесь вручную переводить целые числа между десятичной, двоичной, восьмеричной и шестнадцатеричной системами и проверять ответ программой.

Все четыре примера с решением проверены запуском Python 3.13, вывод программы приведён в статье. Правила функций bin(), hex() и int() сверены с документацией Python, а состав школьных заданий — с материалами ФИПИ (ссылки в источниках). Компьютеру удобна двоичная запись, человеку — десятичная; восьмеричная и шестнадцатеричная нужны как компактная запись двоичных чисел: в них пишут цвета, адреса памяти, коды символов.

Что нужно знать заранее

Позиционная система счисления определяется основанием — количеством используемых цифр. В десятичной их 10 (0–9), в двоичной 2 (0 и 1), в восьмеричной 8 (0–7), в шестнадцатеричной 16: цифры 0–9 и буквы A–F со значениями 10–15.

Значение числа — сумма цифр, умноженных на основание в степени позиции (позиции считают справа налево, начиная с нуля):

$A_p = a_{n-1} p^{n-1} + \dots + a_1 p + a_0$

Здесь $p$ — основание, $a_i$ — цифры. Чтобы не перепутать системы, основание пишут внизу справа: $101_2$ — это двоичное число, а $101_{10}$ — сто один.

Степени двойки пригодятся почти в каждом переводе, запомните их до 256:

Из десятичной системы в любую

Шаг 1. Делите на основание

Делите число на основание целевой системы, остаток записывайте. Затем делите на основание частное, и так до тех пор, пока частное не станет нулём.

Первый остаток — младшая цифра результата, последний — старшая. Читать остатки нужно снизу вверх.

Пример 1. 156 из десятичной в двоичную

Читаем остатки снизу вверх: $156_{10} = 10011100_2$.

Пример 2. 700 из десятичной в шестнадцатеричную

Остатки снизу вверх: 2, B, C. Итог: $700_{10} = 2BC_{16}$.

Из любой системы в десятичную

Умножьте каждую цифру на основание в степени её позиции и сложите.

Пример 3. 101101 из двоичной в десятичную

Позиции справа налево: 0, 1, 2, 3, 4, 5.

$101101_2 = 1\cdot 2^5 + 0\cdot 2^4 + 1\cdot 2^3 + 1\cdot 2^2 + 0\cdot 2^1 + 1\cdot 2^0 = 32 + 0 + 8 + 4 + 0 + 1 = 45$

Тот же приём работает для любой системы. Проверим на шестнадцатеричном числе из примера 2:

$2BC_{16} = 2\cdot 16^2 + 11\cdot 16 + 12 = 512 + 176 + 12 = 700$

Получили исходные 700, значит, перевод туда и обратно сходится.

Между двоичной, восьмеричной и шестнадцатеричной

Эти три системы связаны степенями двойки: $8 = 2^3$, $16 = 2^4$. Поэтому делить и складывать не нужно. Достаточно разбить двоичную запись на группы: по три бита для восьмеричной, по четыре для шестнадцатеричной. Группы идут справа налево, неполную слева дополняют нулями.

Пример 4. 3AF из шестнадцатеричной в двоичную

Заменяем каждую цифру четвёркой бит: 3 → 0011, A → 1010, F → 1111. Склеиваем: $3AF_{16} = 001110101111_2$. Ведущие нули можно отбросить: $1110101111_2$.

Обратный перевод — тот же приём наоборот. Двоичное число $1110101111$ разбиваем справа по четыре: 11 1010 1111, левую группу дополняем нулями: 0011 1010 1111, заменяем на 3, A, F.

Ручной перевод легко проверить. В Python есть готовые функции:

print(bin(156))                 # десятичное -> двоичное
print(int('101101', 2))         # двоичное -> десятичное
print(hex(700))                 # десятичное -> шестнадцатеричное
print(format(int('3AF', 16), '012b'))   # шестнадцатеричное -> двоичное, 12 знаков

Вывод программы:

0b10011100
45
0x2bc
001110101111

Префиксы 0b и 0x — часть записи Python: так язык отличает двоичные и шестнадцатеричные числа от десятичных. Все четыре результата совпадают с примерами выше. Функция int(строка, основание) принимает основание от 2 до 36, а format(число, 'b') и format(число, 'X') дают запись без префикса.

А вот как тот же алгоритм деления с остатками выглядит кодом:

def to_base(n, b):
    digits = '0123456789ABCDEF'
    result = ''
    while n > 0:
        result = digits[n % b] + result   # остаток становится старшей цифрой
        n //= b
    return result

print(to_base(156, 2))
print(to_base(700, 16))

10011100
2BC

Условия и ограничения

Данные

Только целые неотрицательные числа — В примерах выше разобраны именно они. Дробные числа и отрицательные числа переводятся иначе (ответы на два вопроса — в блоке «Частые вопросы»).

Синтаксис

Основание в int — основание у int(строка, основание) — от 2 до 36. Это следует из документации Python: цифры 10–35 записываются буквами a–z или A–Z, регистр не важен. Значение 0 для основания означает «определить по префиксу».

Синтаксис

Префиксы чисел — префиксы. bin() возвращает строку с префиксом 0b, hex() — с 0x; для восьмеричной системы префикс 0o. Это синтаксис Python, в школьной записи вместо префикса пишут основание в индексе.

Системы

Группировка битов — группировка по 3 и 4 бита работает только между двоичной и восьмеричной или шестнадцатеричной системами, потому что $8 = 2^3$ и $16 = 2^4$. Для перевода между восьмеричной и шестнадцатеричной проще пройти через двоичную.

Версия

Версия Python — версия. Вывод кода получен на Python 3.13.

Частые ошибки

• Читают остатки сверху вниз, а не снизу вверх. Для 156 получится 00111001 вместо 10011100.
• Путают основание и показатель степени: в $2^5$ основание 2, а показатель 5.
• Забывают дополнить крайнюю левую группу нулями при переводе в шестнадцатеричную систему.
• Принимают 0x2bc за какое-то другое число: это обычная запись шестнадцатеричного числа, в Python регистр букв не важен.
• Не проверяют результат обратным переводом, а он занимает полминуты.

Короткий вывод

Из десятичной системы переводят делением на основание, в десятичную — суммой степеней. Между двоичной и шестнадцатеричной вычисления не нужны: достаточно таблицы из шестнадцати строк. Любой свой ответ можно проверить одной строкой в Python.